Aritmética Sexto Números Q

El primer tipo de números que fueron construidos por el ser humano fueron los naturales. como bien sabrás, los naturales sirven para contar cantidades "naturales" de la naturaleza: un árbol, 5 personas, 20 cabras, etc. Los utilizaban para contar su ganado, los miembros de su familia, los bienes que intercambiaban con otras personas, etc. Luego de eso, se dieron cuenta que no siempre habían solo números "naturales", también se podía tomar media manzana, un cuarto de una pera, cabra y media y de ahí surgieron los racionales. Los mesopotamicos y los egipcios ya trabajaban con algunas fracciones como 1/2, 1/3, 1/5, etc, generalmente con 1 por numerador, eventualmente, utilizaban alguno que otro como 2/5 a diferencia de los 1/x. Uno de los primeros registros que se conocen (si no es que es el más antiguo) donde se encuentran números racionales, es la piedra roseta y los papiros de Rhind y de Moscú, ambos de la cultura egipcia. Los racionales con los que trabajaban los antiguos, eran precisamente los fraccionarios,ya que los fraccionarios son para explicitar "fraccionamientos" de objetos conocidos. Ya el trabajo con racionales, entendiendolos como los números de la forma a/b, con a y b naturales, y b distinto de cero, fue ya muy posterior a esas culturas, ya cerca del 1500. En el siguiente enlace hay un ejemplo claro y divertido sobre las fracciones: http://www.youtube.com/watch?v=47Re17cSvHg&feature=related

El aprendizaje matemático ha sido tradicionalmente
considerado como imprescindible
en la enseñanza obligatoria. Sin embargo
la concepción de estos conocimientos, su enfoque
educativo, la incidencia que se les supone en
el desarrollo cognitivo y social de los alumnos y
en definitiva la importancia que se les atribuye, ha
ido modificándose, a tenor de los cambios operados
en los modelos de organización social y,
consecuentemente, en las ideas y planteamientos
educativos.
Una de las características de la sociedad
actual es la de estar sometida a continuos cambios.
Los avances tecnológicos y la creciente
importancia de los medios de comunicación,
hacen necesaria la adaptación de los ciudadanos
a situaciones nuevas y su capacitación para recibir,
procesar y emitir información cada vez más
tecnificada. De otra parte, en nuestra cultura, las
decisiones políticas y sociales implican aspectos
técnicos que es necesario entender para participar
de forma activa en los procesos colectivos.
Desde esta perspectiva conviene interrogarse
acerca de en qué medida los conceptos y procedimientos
matemáticos pueden considerarse
potencialmente útiles para favorecer la formación
integral de las personas y atender a las demandas
y necesidades que esta sociedad les plantea.
La resolución de problemas, los significados
de los lenguajes matemáticos, los modos en que
pueden hacerse conjeturas y razonamientos,
capacitarán a los alumnos y alumnas para analizar
la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos,
entender situaciones e informaciones y acomodarse
a contextos cambiantes. Así el aprendizaje
progresivo de los conocimientos matemáticos
contribuirá al desarrollo cognitivo de los
alumnos y a su formación potenciando capacidades
y destrezas básicas como la observación,
representación, interpretación de datos, análisis,
síntesis, valoración, aplicación, actuación razonable,
etc.
Considerando las ideas anteriores, el Currículum
del Area de Matemáticas que se presenta para
la Educación Secundaria Obligatoria, quiere partir
de una concepción de este Area integradora y
cultural, superadora de la visión academicista,
encerrada sobre sí misma y principalmente basada
en la deducción que con frecuencia la ha
caracterizado.
Desde esta opción, los fines que se atribuyen
a la formación matemática son los de favorecer,
fomentar y desarrollar en los alumnos la capacidad
para explorar, formular hipótesis, razonar
lógicamente y predecir, así como la facultad de
usar de forma efectiva diversas estrategias y procedimientos
matemáticos para plantearse y resolver
problemas relacionados con la vida cultural,
social y laboral.
En definitiva, la integración de los miembros
más jóvenes en una sociedad tan compleja como
la actual, hace imprescindible la adquisición de
INTRODUCCIÓN
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una formación matemática básica, por cuanto los
aprendizajes que procura resultan útiles para
resolver problemas cotidianos y para el reconocimiento
de importantes claves del patrimonio cultural
colectivo.
Así pues, se opta por una Matemática comprensiva,
amplia, cognitiva y procedimental, que
ofrezca vías y claves para responder a los interrogantes
planteados y faculte para actuar sobre el
medio y comprenderlo.
La génesis de muchos de estos conocimientos
y los métodos de trabajo que le son propios, avalan
esta opción. El hombre, a través del tiempo se
ha interesado por comprender lo que le rodea,
estableciendo y expresando relaciones (desde las
más simples a las más complejas) sobre la realidad.
Para ello ha operado con los elementos de
esta realidad, aplicando su propio pensamiento.
Los conocimientos matemáticos han surgido,
con frecuencia, de la necesidad de resolver cuestiones
ligadas a la regulación de prácticas sociales
como los intercambios comerciales y el reparto de
la tierra o del hábitat (arquitectura y urbanismo).
Por motivos como éste, muchos de los conocimientos
son hoy de carácter procedimental y se
justifican por su valor funcional.
Paralelamente, se planteó la necesidad de
validar y generalizar los procedimientos empleados
, reflexionando sobre ellos, haciendo conjeturas,
probando, refutando, etc. De esta forma se
articulan cuerpos estructurados de conceptos y
procedimientos, que se caracterizan por su elevado
nivel de abstracción y formalización, por la
lógica de las relaciones que constituyen su naturaleza
interna y por expresarse en códigos concisos
y rigurosos.
En una gran medida, el conocimiento matemático
tiene su origen en la capacidad humana
para considerar los elementos de su medio,
actuando sobre ellos y abstrayendo determinadas
características, propiedades y relaciones. Se
conforma de esta manera un conjunto coherente
y razonable de relaciones que resulta formativo
conocer y apreciar debidamente.
Los conocimientos matemáticos constituyen
para los alumnos, un campo idóneo donde ejercitar
el pensamiento, contribuyendo a su desarrollo
intelectual. La propia estructura de estas nociones,
que se potencian cuando se formulan problemas,
se piensan estrategias de solución, se
valoran y revisan resultados, etc., dotan al aprendizaje
matemático de un carácter (investigativo,
descubridor y crítico) que genera y, a la vez, utiliza
esquemas inteligentes.
Consecuentemente, la Matemática debe presentarse
a los alumnos más como un proceso de
búsqueda, de ensayos y errores, que persigue la
fundamentación de sus métodos y la construcción
de significados a través de la resolución de problemas,
que como un cuerpo de conocimientos
organizado y acabado.
Al poner en juego la capacidad de operar con
elementos no necesariamente reales, el aprendizaje
matemático se convierte en potenciador de la
imaginación, la iniciativa y la flexibilidad del pensamiento,
contribuyendo, también de esta forma,
al desarrollo de la inteligencia.
No menos importante resulta la consideración
de los conocimientos matemáticos para la
comunicación, como lenguaje con el que es posible
referirse a múltiples situaciones e informaciones,
de manera concisa, clara e inteligible.
El Sistema Educativo debe favorecer su cabal
comprensión por la mayoría de los ciudadanos.
Durante la Educación Primaria los alumnos
han partido del ámbito de lo perceptivo y cualitativo,
evolucionando hacia el pensamiento lógico
concreto. A lo largo de la Educación Secundaria
Obligatoria deberá favorecerse el tránsito desde las
experiencias matemáticas intuitivas, vinculadas a
la acción propia, hasta el conocimiento más estructurado
con un incremento progresivo de aplicación,
abstracción, simbolización y formalización.
El desarrollo de la competencia cognitiva
general de los alumnos que ocurrirá durante la
Educación Secundaria Obligatoria, descansa
sobre la posibilidad de abstraer relaciones, realizar
inferencias y operar con relaciones simbólicas
8
Área de Matemáticas
a partir de la manipulación de recursos diversos
(objetos físicos, materiales estructurados, representaciones
o modelos). Esto marca una diferencia
–y también un puente– con la etapa anterior,
que depende esencialmente de las relaciones ligadas
a objetos concretos. Vinculada estrechamente
con esto, se encuentra la posibilidad de trascender
las informaciones concretas sobre “lo real”,
dando entrada a las suposiciones, las conjeturas y
las hipótesis como objeto de pensamiento.
La capacidad de razonar sobre lo posible más
allá de lo que puede percibirse directamente en
una situación concreta, junto con la capacidad de
manipular relaciones simbólicas, están en la base
del razonamiento hipotético deductivo, que abre
una importante vía de acceso a los componentes
más formales y deductivos del pensamiento matemático.
Debe considerarse que los aspectos más abstractos,
formales y deductivos de la ciencia matemática
siguen estando, a menudo, fuera de las
posibilidades de comprensión de los alumnos y las
alumnas, incluso en los últimos años de la Educación
Secundaria Obligatoria. Tampoco debe limitarse
su aprendizaje al conocimiento de técnicas
y adquisición de destrezas para la realización de
operaciones según modelos algorítmicos.
Los conocimientos que deben trabajarse en
esta etapa se situarán entre la práctica de los
alumnos y la matemática formal. Se partirá de los
esquemas empleados, de las ideas intuitivas, de
las técnicas y estrategias personales para movilizar
y enriquecer esos conocimientos, habilidades
y destrezas, mediante un adecuado tratamiento
escolar de las nociones y procedimientos formalizados.
Poniendo en juego sus competencias cognitivas
y aquellos conocimientos que su propia práctica
y experiencia les va deparando, muchos de
estos alumnos y alumnas utilizan estrategias y
conocimientos matemáticos intuitivos para resolver
problemas y situaciones de su interés.
La apropiación y reconstrucción del conocimiento
por los alumnos guarda estrecha relación
con su interés y motivación. La enseñanza de las
matemáticas debe preocuparse de desarrollar
determinadas actitudes y hábitos de trabajo que
les ayuden a ser capaces de apreciar el propósito
de la actividad, tener confianza en su habilidad
para abordarla satisfactoriamente, ser imaginativos,
sistemáticos, persistentes, etc.
Este conjunto de consideraciones aconsejan
la formulación de un currículum que se sitúe dentro
del marco de conocimientos considerados
imprescindibles para satisfacer las necesidades
matemáticas cotidianas (a nivel conceptual y procedimental)
de un ciudadano adulto en la sociedad
actual y futura.
9
Currículum
OBJETIVOS
En la línea descrita en el Anexo de Aspectos
Generales, los objetivos se entienden
como las intenciones que sustentan el diseño y la
realización de las actividades necesarias para la
consecución de las grandes finalidades educativas.
Se conciben así como elementos que guían
los procesos de enseñanza-aprendizaje, ayudando
a los profesores en la organización de su labor
educativa.
Los objetivos del Area de Matemáticas deben
entenderse como aportaciones que se han de
hacer a la consecución de los objetivos de la
etapa. Es pertinente enunciarlos para reconocer
las peculiaridades que este Area aporta a la formación.
La enseñanza de las Matemáticas en la etapa
de Educación Secundaria se orientará a facilitar
los aprendizajes necesarios para desarrollar en los
alumnos y alumnas las siguientes capacidades:
1 Utilizar el conocimiento matemático
para organizar, interpretar e intervenir
en diversas situaciones de “la realidad”.
Este objetivo subraya el carácter funcional
que debe otorgarse al aprendizaje de este área en
la etapa. Las matemáticas proporcionan formalización
y rigor al conocimiento humano en general.
Su estructura conceptual sirve para organizar
de forma lógica datos relativos a procesos de la
realidad vivida y para proponer modelos que permitan
comprenderlos mejor. El conocimiento
matemático resulta útil, por ejemplo, para cuantificar,
codificar e interpretar con mayor rigor y precisión
determinados aspectos de dicha realidad,
para organizar mejor las relaciones espaciales,
para interpretar lo diverso como susceptible de
ser abordado desde puntos de vista contrapuestos
o complementarios: determinista/aleatorio, finito/
infinito, exacto/aproximado...
El dominio de procedimientos básicos (como,
por ejemplo, los relativos al cálculo, a la medida,
a la utilización de técnicas sencillas de recogida
de datos para obtener información y a las representaciones
gráficas y numéricas de los mismos )
resulta imprescindible para desenvolverse con
autonomía en la sociedad actual y elaborar juicios
adecuados ante fenómenos y situaciones diversas.
Al facilitar el acceso reflexivo a estos procedimientos
diversos, se ofrece a los alumnos elementos
de juicio para decidir en cada caso sobre
la pertinencia o ventaja de su uso y para someter
el proceso y los resultados a una revisión sistemática.
2. Comprender e interpretar distintas formas
de expresión matemática e incorporarlas
al lenguaje y a los modos de argumentación
habituales.
Este objetivo pretende favorecer en los alumnos
y las alumnas la apropiación progresiva de
distintos códigos matemáticos de uso habitual en
la sociedad actual: numérico, gráfico, geométrico,
lógico, algebraico, estadístico y probabilístico.
La utilización de formas de expresión matemática
aporta concisión y claridad a la comunicación,
favorece la selección y organización de los
datos, la precisión y el rigor en la interpretación y,
por lo tanto, contribuye a realizar una intervención
más adecuada en diferentes situaciones.
3. Reconocer y plantear situaciones en las
que existan problemas susceptibles de
ser formulados en términos matemáticos,
resolverlos y analizar los resultados
utilizando los recursos apropiados.
El conocimiento matemático es considerado
en este objetivo como un poderoso instrumento
para la identificación, formulación y resolución de
problemas. En efecto, el uso de códigos
matemáticos para analizar problemas de la realidad,
facilita la selección de los datos, orienta
sobre su búsqueda y ayuda a relacionar y organizar
la información, a representarla de manera que
resulte comprensible, a realizar inferencias y
deducciones y a formular conjeturas. También el
conocimiento de propiedades y relaciones
geométricas ayuda a identificar las formas y relaciones
espaciales que se presentan en la realidad,
propiciando la sensibilidad ante la belleza y la
conservación del medio físico.
Los problemas que pueden abordarse por
distintas vías y que permiten varios niveles de
solución, invitan a utilizar las formas de pensamiento
lógico para formular y comprobar hipótesis
y realizar inferencias, contribuyendo a que el
alumno adquiera una visión de las matemáticas
como ciencia asequible, abierta y útil.
4. Reflexionar sobre las propias estrategias
utilizadas en las actividades matemáticas.
Este objetivo hace referencia a la conveniencia
de promover en los alumnos el análisis y la
valoración de la actividad realizada y de las estrategias
puestas en juego. Ello facilita la posibilidad
de recorrer el camino que va desde la experiencia
inductiva hacia la formalización deductiva.
El análisis de la conveniencia y adecuación de
las propias estrategias utilizadas a lo largo del pro-
10
Área de Matemáticas
ceso de aprendizaje permite, por otra parte, su
modificación, reajuste y regulación progresivos
mediante criterios que se irán compartiendo a
medida que se avance en la etapa. Esto ayudará a
conseguir un margen de creciente autonomía en
la intervención en la sociedad en la que se vive.
5. Incorporar hábitos y actitudes propios
de la actividad matemática.
La elaboración del conocimiento matemático
se encuentra estrechamente relacionada con el
desarrollo de actitudes y hábitos que favorezcan
el proceso de formalización, el tanteo, la contrastación,
etc. Por ello será necesario favorecer, junto
a actitudes como la búsqueda de precisión y rigor
y el disfrute de los aspectos estéticos de la organización
matemática, otras como la exploración sistemática
de alternativas, la valoración de puntos
de vista distintos, la flexibilidad para cambiar de
enfoque, la tenacidad en la búsqueda de soluciones,
etc.
6. Reconocer el papel de los recursos en el
propio aprendizaje.
La apropiación de conocimientos matemáticos
pasará, a menudo, en esta etapa, por el uso de
recursos que son habituales en la sociedad adulta:
la prensa, la televisión, el vídeo y los ordenadores
(por ejemplo) pertenecen al “paisaje” habitual de
los ciudadanos.
Si en los medios laborales o domésticos la calculadora
aparece como una simple herramienta
de cálculo (que a veces, pero no siempre, puede
sustituir al “papel y lápiz” o al “cálculo mental”),
en esta etapa debe considerarse también como un
recurso a través del cual es posible enunciar
problemas significativos para el aprendizaje.
En general, los materiales, recursos y representaciones
cuyo uso se proponga a los alumnos
y alumnas de esta etapa, habrán de coadyuvar a la
consecución de los anteriores objetivos.
11
Currículum
CONTENIDOS
Al fijar los objetivos se ha comenzado a
concretar el marco general de referencia,
delimitando la intención de lo que debe enseñarse
a través del área de Matemáticas en esta
etapa educativa. Con el desarrollo del capítulo de
contenidos se pretende completar lo referente al
qué enseñar.
Como se recoge en el Anexo de Aspectos
Generales, se entiende por contenidos tanto los
conceptuales como los procedimentales y actitudinales.
Los contenidos del Area de Matemáticas se
han seleccionado teniendo en cuenta el carácter
formativo (por una parte, funcional y, por otra,
estructurante del pensamiento y de la acción) atribuído
al área, su contribución al desarrollo de las
capacidades expresadas en los objetivos y las
características propias de los alumnos de la Educación
Secundaria Obligatoria.
El aspecto funcional del conocimiento matemático
se hace patente en una selección de contenidos
y actitudes útiles, adecuados a la resolución
de problemas, y cuyo tratamiento en el aula
se realizará siempre partiendo de situaciones
concretas. El aspecto estructurante se hace patente
en una selección de conceptos y procedimientos
relevantes para el desarrollo del pensamiento,
para la organización de los conocimientos o para
la planificación de la acción y cuyo tratamiento en
el aula se realizará como reelaboración del aspecto
funcional previamente mencionado.
Los contenidos se presentan organizados en
cinco núcleos. En cada unos de ellos se formulan
de forma integrada los distintos tipos de contenido:
procedimientos específicos, formas de expresión
y representación peculiares, conceptos,
hechos, hábitos y actitudes. También se indican
situaciones o problemas de la vida diaria en los
que aparecen los contenidos.
El núcleo relativo a los números y medidas
pretende familiarizar a los alumnos y alumnas en
la cuantificación directa e indirecta de los procesos
de medida y cálculo y en la proporcionalidad
de magnitudes.
El Álgebra generaliza la aritmética, aportando
nuevos conceptos y procedimientos y promoviendo
nuevas actitudes relacionadas con el uso
de un lenguaje claro y preciso.
La Estadística y el estudio del azar intentan
iniciar en la comprensión de aspectos aleatorios
de la realidad y en las técnicas de organización y
análisis de datos.
El núcleo relativo a funciones y su representación
gráfica familiarizará con el lenguaje de las
gráficas y dotará de los conocimientos necesarios
para estudiar los fenómenos de dependencia (en
su mayor parte, deterministas).
El estudio de la geometría ayudará a asimilar
estructuras espaciales, a comprender relaciones
entre elementos geométricos (en muy diversos
aspectos) y a abordar (con variados planteamientos)
problemas relativos al espacio físico o a su
representación en el plano.
Los siguientes núcleos de contenidos no han
de ser trasladados “mecánicamente” al aula. Los
conceptos nunca aparecen solos y el carácter formativo
de los conocimientos, obliga a poner en
juego, de forma equilibrada, conceptos, relaciones
entre conceptos, procedimientos y relaciones
entre procedimientos. Por otro lado, las actitudes
sirven de soporte al aprendizaje y al uso de los
conocimientos matemáticos, pues permiten interesarse
por la apropiación de los conocimientos y
proseguir el aprendizaje. El proceso de enseñanza
y aprendizaje ha de integrar (como simultáneos
o complementarios) contenidos relativos a los
distintos ámbitos del conocimiento matemático. A
partir de unas mismas experiencias, situaciones
problemáticas o actividades, se pueden elaborar
de forma conjunta conocimientos relativos a magnitudes,
aritméticos, geométricos, algebraicos,
estadísticos o probabilísticos.
Los tres grandes ámbitos de conocimientos
(conceptual, procedimental y actitudinal) no
están en correspondencia biunívoca y, no pueden
restringirse, sólo, al marco de cada núcleo. Por
una parte, las relaciones entre conceptos conectan
y enriquecen a los propios núcleos; por otra,
es preciso tener en cuenta los procedimientos y
actitudes generales que van, en algunos casos,
adquiriendo especificidad en los distintos núcleos
y que han de impregnar toda la actividad matemática
de los alumnos a lo largo de la etapa.
Entre estos procedimientos generales cabe
destacar los relacionados con:la lectura, comprensión,
traslación e interpretación de la información
que se maneja; la representación de estas informaciones
en soportes adecuados; la comunicación
y expresión en distintos códigos; la clasificación
de las informaciones (ordenación, tabulación,
relaciones); el razonamiento (inductivo,
analógico, espacial, inferencial, ...); la investigación
y la resolución de problemas; el control de
los procesos que están ejecutando (detección y
acotación de errores, revisión y comprobación del
plan, análisis de razonamientos utilizados).
Entre estas actitudes generales cabe destacar:
la curiosidad (búsqueda de los conocimientos
estimando la complejidad de los mismos); la flexibilidad
para tratar las situaciones; el gusto por la
certeza; la autonomía de pensamiento para tomar
decisiones; la confianza en las propias capacidades
para afrontar problemas; el interés por el propio
trabajo; la capacidad de disfrutar pensando; la
solidaridad y cooperación con los demás.
Estos procedimientos y actitudes impregnan
los conceptos y procedimientos específicos de los
distintos núcleos de conocimientos y por ello han
de ser tenidos en cuenta en la formulación de
objetivos de cada unidad didáctica, en las estrategias
metodológicas que se ponen en juego y en
los procesos de evaluación.
12
Área de Matemáticas
1. NÚMEROS Y MEDIDAS
En la etapa educativa anterior, la educación
Primaria, se ha iniciado a los alumnos en el conocimiento
aritmético y en el conocimiento métrico.
Deben poseer ya un cierto dominio de los códigos
y formas de expresión habituales y de las operaciones
básicas y los algoritmos más usuales. En
esta etapa han de ampliar el repertorio de formas
de expresión, de procedimientos y técnicas y profundizar
en el dominio de los que ya conocen.
Así se consideran los siguientes:
ä Lectura,interpretación y utilización de
números naturales, enteros, fraccionarios
y decimales, expresados de forma
acorde con el tipo de actividad que se
esté realizando.
En la vida cotidiana surge con frecuencia la
necesidad de recurrir a procedimientos tales como
el recuento, la medición (directa o indirecta) o la
estimación (unida a destrezas de aproximación,
redondeo, truncamiento y acotación de errores)
que requieren la utilización de distintos tipos de
números. Cualquiera que sea la representación,
surgirán cuestiones de notación (la habitual, por
supuesto, pero también la de “coma fija”, la “científica”,
la “técnica”, los tantos por ciento o por mil,
las “marcas” de números negativos por su signo o
por su posición en una tabla). Los alumnos tienen
que apropiarse comprensivamente de estas formas
de expresión, valorando su utilidad, hasta integrarlas
en su discurso habitual y aprender a establecer
las equivalencias oportunas entre todas ellas. También
es conveniente utilizar procedimientos de
representación gráfica, tanto en una como en dos
dimensiones, de relaciones numéricas.
ä Utilización de las operaciones con los
diferentes tipos de números (algoritmos
tradicionales de suma, resta, multiplicación
y división, cálculo mental, cálculo
con calculadora y cálculo aproximado) y
sus propiedades básicas.
Revisar el sentido de las operaciones que se
pueden realizar con los distintos tipos de números
y, estudiar sus propiedades, es útil no solo para
conocer las propiedades que tienen, sino además
para saber las propiedades que no poseen determinadas
operaciones.
El uso generalizado de la calculadora hace
necesario que, en esta etapa, se insista en el dominio
de su funcionamiento, en la observación crítica
de los resultados que con ella se obtienen y, en
la valoración de su utilidad como instrumento
para realizar cálculos e investigaciones numéricas.
Para esto es conveniente que los alumnos
hagan previamente cálculos estimativos de la
magnitud de los resultados y adecúen la precisión
de los resultados estimados a la de los datos, con
el fin de apreciar los posibles errores procedentes
de una deficiente introducción de datos y de
desarrollar una actitud crítica.
ä Mediciones, directas e indirectas, de distancias,
áreas, volúmenes, ángulos (en
grados sexagesimales), pesos (masas) y
tiempos y manejo de cantidades monetarias.
En cuanto al conocimiento métrico, se debe
profundizar en la capacidad de estimar la medida
de magnitudes y mejorar el dominio de los instrumentos
de medida convencionales, adecuados a
cada tipo de magnitud y situación, con el cuidado y
precisión que cada situación problemática requiere.
La tarea del alumno consiste, no sólo en realizar
las operaciones necesarias para obtener una
medida de estas magnitudes, sino fundamentalmente
en decidir, dadas determinadas circunstancias
de un problema, qué debe medir y
cómo hacerlo para obtener los datos o la información
que le permitan calcularlos. Estas actividades
han de desarrollar una actitud favorable por la
presentación ordenada y clara del proceso seguido
y de los resultados obtenidos.
ä Profundización en la proporcionalidad de
magnitudes empleando distintos tipos de
notación: decimal, fracción y porcentaje.
De las relaciones entre las magnitudes hay
que detenerse en la proporcionalidad, que apare-
13
Currículum
ce con frecuencia, bien como relación entre magnitudes
verdaderamente proporcionales, bien
como resultado de la simplificación de una relación
no lineal mediante una relación lineal aproximante
y, en los diversos procedimientos que
permiten realizar cálculos de proporcionalidad,
en situaciones de la vida ordinaria tales como el
cálculo de descuentos o intereses, amortización
de capital, distribución de beneficios y de aquellas
otras que el resto de los núcleos permita abarcar.
ä Iniciación al estudio de las sucesiones y
de las progresiones.
En el último curso de la etapa, se abordará un
estudio elemental de las sucesiones para analizar
sus regularidades más características (de manera,
fundamentalmente, cualitativa), para buscar
patrones o regularidades numéricas o para buscar
leyes que generalicen relaciones. Las progresiones
merecen una dedicación particular, dadas sus
múltiples aplicaciones.
La actividad matemática con los números y
las medidas (y en general), ha de favorecer la confianza
en las propias capacidades para afrontar
problemas, realizar cálculos y, propiciar una disposición
favorable a revisar y optimizar el resultado
de cualquier proceso numérico.
2. ÁLGEBRA
En la educación primaria, los alumnos y
alumnas se han iniciado en el uso de procedimientos
aritméticos, es decir, han aprendido a
encontrar un resultado a partir de unos datos previos.
Sin embargo, muchas situaciones requieren
la adquisición de nuevas técnicas de simbolización
progresiva de enunciados verbales y de los
correspondientes hábitos para interpretar posteriormente
la solución en términos de lenguaje
ordinario.
ä Simbolización de cantidades en contextos
concretos y expresión de relaciones
(propiedades, secuencias numéricas,
leyes de recurrencia, etc.) mediante
expresiones literales. Valoración numérica
de fórmulas y expresiones literales.
Comprensión del concepto de variable y
de ecuación.
Hay que trabajar, en múltiples situaciones, el
concepto de igualdad y el reconocimiento de sus
propiedades más sencillas, de forma contextualizada,
como la reversibilidad, la comparación y la
equivalencia.
No hay que obviar la dificultad de trabajar con
expresiones literales para los alumnos de estas edades.
El uso de letras como variables, para representar
números, presenta una doble dificultad: la
de interpretar la notación y la de entender las ideas
y conceptos abstractos que le sirven de base.
Por tanto, su introducción debe ser progresiva
(a partir de expresiones aritméticas de fórmulas
o relaciones ya descubiertas y trabajadas previamente,
de situaciones geométricas, etc.), partiendo
de las propias capacidades para simbolizar
que tengan los alumnos, trabajando con problemas
contextualizados que provoquen la reflexión
sobre la necesidad de operar con este tipo
de expresiones y, que permitan construir una
actitud positiva ante el lenguaje algebraico y su
utilidad.
ä Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas
y sistemas de dos ecuaciones
mediante métodos diversos. Aplicación
de métodos algebraicos en la resolución
de problemas matemáticos y de la vida
real.
Es particularmente importante que los alumnos
aprecien la diversidad de métodos de resolución
de ecuaciones. Para ello conviene ponerlos
en situación de resolverlas por métodos numéricos
de aproximaciones sucesivas, de modo que
adquieran el hábito de la exploración sistemática
de soluciones y confianza en las propias habilidades
para encontrar los resultados buscados. Esto
no implica dejar de utilizar los métodos algebraicos
en la resolución de problemas tanto matemáticos
como de la vida cotidiana y comparar la
eficacia de estos métodos con otros de carácter no
algebraico.
14
Área de Matemáticas
Dentro de la diversidad de situaciones que se
resuelven con tratamiento algebraico, se destacará
la importancia de aquellas cuya formulación
implica la búsqueda de uno o dos datos en los
casos lineales (ecuaciones lineales y sistemas de
dos ecuaciones) y en los casos cuadráticos (ecuaciones
de segundo grado), porque es factible
obtener soluciones exactas mediante transformaciones
algebraicas sencillas de las ecuaciones.
3. FUNCIONES Y SU REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
En la vida cotidiana los alumnos se encuentran
continuamente con magnitudes relacionadas
entre sí. Las situaciones en las que una causa tiene
sobre su efecto una importancia preponderante
en relación con las restantes causas concurrentes,
se pueden describir, al menos de modo simplificado,
mediante el concepto de función. En esta
etapa educativa los alumnos deberán aproximarse
a la noción de función de una variable, dejando
para etapas posteriores el concepto abstracto de
función y el estudio de funciones de más de una
variable.
ä Lectura e interpretación de un fenómeno
dado mediante su gráfica. Obtención de
conclusiones cualitativas y cuantitativas
sobre el fenómeno descrito. Los aspectos
que se deben estudiar son: variables que
se relacionan, escalas utilizadas en los
ejes, valores de una variable respecto a
otra, intervalos de validez, variaciones
(crecimiento y decrecimiento) y extremos
(máximos y mínimos) observables,
continuidad intuitiva, descontinuidades
y tendencias aparentes, en el fenómeno
que se está describiendo.
En la sociedad actual el lenguaje de las gráficas
se utiliza cada día para la visualización de
múltiples conjuntos de información y para la
observación de sus características o comportamiento
general, por su potencialidad descriptiva y
su fácil comprensión. Debe, pues, potenciar en
los alumnos el interés por el uso de este tipo de
lenguaje y facilitarles la comprensión de los mecanismos
que permiten expresar leyes, fórmulas o
tablas mediante gráficas, utilizar con cierta precisión
los términos y la notación adecuados y elegir
convenientemente las escalas para interpretar y
analizar críticamente un fenómeno a partir de su
representación gráfica. Ello posibilitará que sean
sensibles a la potencialidad comunicativa del lenguaje
de las gráficas. En definitiva se trata de conseguir
que los alumnos, ante la gráfica de una función
de contexto real, la describan y analicen sin
necesidad de recurrir a cálculos, que generen dificultades
superfluas, ni a técnicas analíticas específicas,
y también que utilicen estos métodos en la
resolución de problemas.
ä Análisis de relaciones funcionales con
objeto de explicar cómo el cambio de
una cantidad influye en otra.
Si se entiende la función no como una simple
tabla de valores, sino como una descripción de un
fenómeno, se estudiarán los conceptos de variación,
extremos, intervalos de validez y continuidad
(discontinuidad), periodicidad, simetría y
estabilidad asintótica, que marcan normalmente
un cambio cualitativo en el fenómeno (como ocurre,
por ejemplo, en los cambios de estado, las crisis,
la devaluación, etc.), que ponen de manifiesto
las características de conjunto del fenómeno,
no observables fácilmente en la tabla de valores.
ä Representaciones gráficas de funciones a
partir de un enunciado, de una tabla y de
una expresión analítica.
La representación de gráficas de funciones
como modo peculiar de expresar relaciones, se
presentará como un conocimiento susceptible de
aplicación a distintos casos y situaciones. Los
alumnos habrán de traducir enunciados matemáticos,
no expresados analíticamente, a gráficas
de funciones. Asímismo, se partirá de tablas de
valores, estimando la posibilidad de unir los puntos
para formar curvas, y de expresiones analíticas
para recurrir, cuando se crea necesario, a la
obtención de nuevos puntos y ampliar o mejorar
las gráficas con objeto de obtener una información
más precisa.
15
Currículum
ä Estudio particular de algunas funciones:
lineales, cuadráticas, de proporcionalidad
inversa, exponenciales, periódicas y
escalonadas.
Es necesario abordar los tipos más frecuentes
de funciones. Las funciones lineales aparecen,
por ejemplo, en situaciones de proporcionalidad,
de costos y de cantidades a precio fijo. Las cuadráticas,
muchas veces resultan por acumulación
de efectos lineales (así ocurre con el espacio recorrido
por un cuerpo en caída libre). La función
exponencial caracteriza muchos procesos de crecimiento
proporcional (evolución de precios,
demografía). La función logarítmica, como función
inversa de la anterior, describe procesos de
agotamiento o desintegración y es una herramienta
para representar linealmente fenómenos
exponenciales. (Sin embargo, el estudio de la gráfica
logarítmica no implica que en esta etapa educativa
deba abordarse el cálculo logarítmico.) La
proporcionalidad inversa se emplea en la descripción
de innumerables procesos físicos o geométricos
en los que se da la constancia del producto
de dos variables. El comportamiento recurrente
de muchos fenómenos, tales como la temperatura
o ciertos fenómenos eléctricos, da lugar
a funciones periódicas. El estudio de muchas funciones
se simplifica sustituyéndolas por otras afines
a trozos. La necesidad de convertir en discretas
imágenes continuas origina, en la práctica, la
función escalonada, como por ejemplo el costo
de una llamada telefónica.
La simple correspondencia entre dos magnitudes
no expresa por si misma el mecanismo de
génesis de la función. Ello se verá más claramente
en las progresiones, en las que el valor correspondiente
a un elemento se genera a partir del
precedente. El estudio de estos tipos de funciones
de variable natural debe preceder al de las funciones
afín y exponencial.
4. GEOMETRÍA
La comprensión de la organización espacial
del mundo que vivimos requiere un aprendizaje
que se puede sistematizar. El acercamiento a la
Geometría se abordará a través de la observación
del entorno, de construcciones de objetos de
diversos tipos, de la manipulación de sus elementos
y de la búsqueda de relaciones, que se tratarán
de argumentar y verificar.
La Geometría es una disciplina que necesita
una reducida cantidad de requisitos previos y que
resulta accesible a todos los alumnos. Aunque un
problema geométrico no sea fácil, es posible trabajar
en el e ir encontrando resultados parciales
que nos permitan ir organizándolo. La Geometría
proporciona una gran fuente de problemas en
contexto, que propicia el trabajo de cada estudiante,
de acuerdo con sus posibilidades.
ä Reconocimiento, descripción y representación
de figuras, cuerpos y composiciones
geométricas.
No se trata de hacer un estudio exhaustivo de
todos los elementos geométricos que han visto las
alumnas y los alumnos en años anteriores. Se aspira
a que, en las actividades geométricas que se les
propongan, adquieran “soltura” y manejen
comprensivamente aquellos elementos que vayan
a utilizar, así como las relaciones básicas para describir
y organizar el plano y el espacio. Todo ello
utilizando terminologías y notaciones adecuadas a
la situación en estudio o al procedimiento en uso.
Este aprendizaje se debe abordar a través del
proceso de descomposición de formas complejas
en formas elementales, del análisis y la búsqueda
de las propiedades de estas formas elementales y
de la síntesis posterior, bien con la intención de
reconstruir de forma operativa las formas complejas
o de llegar a comprenderlas mejor, o bien con
la intención de diseñar y construir formas nuevas.
Por ejemplo, el problema del recubrimiento de
superficies planas o poliédricas dará lugar al estudio
de las teselaciones, polígonos regulares y
poliedros regulares. En éste, es interesante analizar
y construir elementos de decoración (mosaicos,
frisos, cenefas, rosetones) y de construcción
(arcos, bóvedas, artesonados...)
Con este tipo de actividad se puede fomentar
en los alumnos una actitud de curiosidad y bús-
16
Área de Matemáticas
queda de regularidades y relaciones entre los elementos
que componen las figuras y, al mismo
tiempo, desarrollar el sentido estético y el gusto
por el orden y por la complejidad que puede
obtenerse a partir de formas muy simples.
ä Construcciones en el plano y en el espacio
de forma fundamentalmente manipulativa.
La manipulación y construcción de figuras
geométricas espaciales contribuirá a un conocimiento
más elaborado sobre las mismas, pasando
de las nociones fundamentalmente perceptivas a
la conceptualización de las formas y figuras
mediante la detección de regularidades y la consideración
de elementos y relaciones.
Para la realización de estas actividades los
alumnos seguirán diversos criterios: partir de las
propiedades conocidas, seguir las nociones intuitivas
que poseen, utilizar instrumentos de dibujo
y medida, utilizar otros elementos como plantillas,
espejos, globos terráqueos etc. Superarán de esta
forma los problemas de representación de las formas
espaciales en el plano, debidos a la
tridimensionalidad y se facilitará, para ellos, el
modo de representación convencional.
Este tipo de trabajo servirá también de ayuda
para introducir a los alumnos en los conceptos de
área y volumen, a la vez que fomenta perseverancia
y flexibilidad en la búsqueda y mejora de soluciones
a los problemas. La apreciación del número
de elementos que pueden ser contenidos en
una determinada figura o forma espacial, como
por ejemplo, el número de losas o de bloques que
caben en una determinada superficie o volumen,
puede constituir una adecuada aproximación
intuitiva a dichos conceptos y facilitar el posterior
aprendizaje de las fórmulas matemáticas.
ä Interpretación, construcción y utilización
de modelos geométricos, esquemas,
mapas, planos... y deducción de datos o
de información a partir de ellos.
También se debe iniciar al alumno en la utilización
de la representación espacial de figuras o
formas geométricas, de uso habitual en la sociedad
actual. Se trata de introducirlo paulatinamente
en la interpretación de representaciones
tales como croquis, planos de edificios, planos
de ciudades, mapas... y en su construcción
simplificada, ya sea de forma aproximada aunque
expresiva, ya sea de forma más elaborada y objetiva.
Para llegar a dominar este último tipo de
representación, los alumnos y alumnas tienen que
aprender a transformar las medidas de longitud
de la figura real en las medidas de figura representativa
y viceversa, es decir, tienen que llegar a
conseguir el dominio de la escala.
ä Mediciones, directas o indirectas, de longitudes,
ángulos, diedros, áreas y volúmenes.
La tarea de los alumnos y las alumnas consiste,
por un lado en el cálculo de áreas, perímetros,
volúmenes, etc., y, por otro, en decidir qué debe
medir y cómo hacerlo para obtener los datos que
permitan calcularlos, controlando la magnitud de
los errores cometidos.
La medida de áreas y volúmenes de las figuras
simples se debe iniciar por medio de descomposiciones,
desarrollos, etc. y sólo al final del proceso
es conveniente obtener las fórmulas correspondientes.
El proceso de obtención de la medida
es lo que dará significado a esas fórmulas.
ä Conocimiento y aplicación de algunas
propiedades geométricas básicas: teorema
de Pitágoras, configuraciones de Thales,
semejanza de figuras y nociones
básicas de trigonometría.
La necesidad de estudiar los procedimientos
de medidas indirectas de segmentos, de ángulos y
de diedros en grados sexagesimales surge, principalmente,
en dos situaciones: medidas de elementos
no accesibles y medidas de figuras elementales
que hay que utilizar para construir formas complejas
de dimensiones dadas. En cualquiera de los dos
casos, los alumnos y las alumnas deben utilizar,
además del análisis según triángulos semejantes y
el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas
en los casos de triángulos rectángulos.
17
Currículum
El estudio de la semejanza se realizará en su
doble vertiente de representación de figuras a
escala, y de cálculo de medidas lineales de elementos
de una figura a partir de otros.
ä Reconocimiento y representación de
traslaciones, giros y reflexiones.
La percepción y la representación mentales
del movimiento no causal y su reproducción
intencional y práctica a través de un proceso de
análisis que reduce el movimiento a una composición
de traslaciones, giros y reflexiones, constituye
un aspecto primordial de la comprensión
matemática o artística. Los alumnos y las alumnas
han de llegar a conocer las peculiaridades de cada
uno de estos movimientos simples, realizar composiciones
con ellos y descomponer de modos
diversos los movimientos dados.
Muchas figuras, naturales o creadas por el
hombre, presentan una simetría axial (un buen
contexto lo constituye el arte islámico andaluz
medieval). Es conveniente desarrollar en los
alumnos el gusto por la observación, descripción
y construcción de figuras mediante elementos
simples y pares de simetrías. Posteriormente, se
estudiará cómo a partir de la simetría axial se
obtienen las traslaciones y los giros. Este tipo de
trabajo conducirá a la comprensión y valoración
de las distintas posibilidades, distribución y complementariedad
de formas, espacios y colores y
redundará en un mayor aprecio por nuestro legado
cultural.
Las nociones intuitivas complementarias de
“forma” y “contorno” se adquieren observando lo
que tienen en común figuras distintas que, aunque
difieran en tamaño, pueden ofrecer un mismo
aspecto al ser observadas desde lugares adecuados.
Esto hace necesario el estudio de la semejanza
como composición de homotecias y movimientos.
ä Resolución de problemas usando modelos
geométricos.
Se trata de que los alumnos y las alumnas realicen
indagaciones sobre problemas geométricos,
elaboren hipótesis diferenciando los elementos
conocidos de los que pretenden conocer y establezcan
estrategias para su verificación.
Con objeto de valorar los aspectos estéticos
de las formas geométricas se considerarán las
aplicaciones prácticas de la geometría, en diversos
ámbitos de la realidad y de nuestro patrimonio
cultural relacionados con el urbanismo, la
arquitectura, el diseño y el arte contemporáneo.
5. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
ESTADÍSTICA Y DEL AZAR
Los esquemas estadísticos y probabilísticos,
como marco interpretativo de múltiples acontecimientos
que caracterizan la percepción del
mundo en nuestra cultura, constituyen un complemento
ineludible de los esquemas deterministas
hasta ahora imperantes en los modelos de
enseñanza y aprendizaje de este área.
El acercamiento a medios informáticos y de
comunicación, es especialmente fructífero en este
núcleo. Permite reflexionar y valorar la incidencia
de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento
y representación de la información.
ä Acercamiento a los elementos básicos de
la estadística descriptiva: encuestas y
sondeos de opinión, necesidad del muestreo,
recogida y organización de los
datos (agrupamiento, elección de clases,
tabulación y recuento, obtención de la
tabla de frecuencias).
El estudio de las modalidades que presentan
una característica determinada conduce al análisis
de distribuciones y, frecuentemente, a la estimación
de distribuciones mediante el estudio de
muestras. En este estudio están implicadas cuestiones
que los alumnos han de recorrer y vivenciar
si se pretende que puedan entender estadísticas
de las que aparecen en los medios de comunicación.
Algunas cuestiones a plantear son: la
influencia de la redacción de las preguntas en los
cuestionarios, la representatividad de una muestra,
el proceso de organización de datos y los cál-
18
Área de Matemáticas
culos derivados de la obtención de frecuencias
absolutas, relativas y porcentajes.
Es importante desarrollar desde el principio
buenos hábitos y actitudes para planificar
sistemáticamente la toma de datos, realizarla con
precisión y rigor, expresar los datos obtenidos de
forma ordenada que facilite su comprensión y tratamiento
posterior, y a interpretarlos de forma
ajustada. Con todo esto se contribuirá a desarrollar
actitudes críticas frente a la interpretación de
resultados procedentes de extrapolaciones que se
realizan desde otros ámbitos.
ä Representaciones gráficas de las distribuciones
de frecuencia a través de polígonos
de frecuencia, histogramas, diagramas
de sectores, gráficos de barras,
pictogramas...
La representación de distribuciones forma
parte de la presentación habitual de datos en los
medios de información. Por tanto, los alumnos y
las alumnas deberán saber interpretar adecuada y
críticamente estas formas de representación, dentro
del contexto que se está tratando, así como
construirlas decidiendo qué representación gráfica
es conveniente en cada caso.
ä Obtención de los parámetros de centralización
y dispersión.
Es necesario considerar los problemas que se
plantean al elegir, como medida representativa de
la muestra, una de las medidas de centralización,
ya sea la media, mediana o la moda, analizando
en cada caso cuál de ellas es la más oportuna. La
valoración crítica del grado de representatividad
del parámetro de centralización elegido, debe llevarse
a cabo mediante la interpretación exploratoria
de los datos y utilizando la información que
proporcionan los parámetros de dispersión, es
decir, el rango, la varianza y la desviación típica.
Todo ello en el ámbito de la resolución de problemas,
ya que permitirá conectar los aprendizajes
que se están describiendo.
ä Resolución de problemas elementales de
combinatoria utilizando los diagramas
de árbol y algunas técnicas de recuentos
directos y por recurrencia.
Se estudiarán sólo los casos en los que el
cardinal del espacio muestral sea “pequeño” o se
utilizaran herramientas informáticas, de modo
que no sea preciso un tratamiento general de las
técnicas de conteo ni una simbolización excesiva.
Por tanto, no es preciso formalizar la combinatoria.
ä Estimación y medición de la probabilidad
de distintos tipos de sucesos mediante
experimentación reiterada y, aplicando
la Ley de Laplace, en los casos equiprobables.
Resolución de problemas de
probabilidad condicionada.
A menudo se presentan situaciones en las
que no es posible predecir el resultado, bien porque
no se poseen sobre ellas datos suficientes,
bien porque la ingente cantidad de variables que
influyen en el fenómeno hace impracticable la
predicción, o bien porque no se conoce el proceso.
Para llevar a cabo el estudio de estos fenómenos
es necesario el cálculo de probabilidades y,
para desarrollar la capacidad de investigar este
tipo de fenómenos, debe los alumnos y las alumnas
adquirir tanto una disposición favorable a
investigar este tipo de fenómenos, como una
buena práctica en las técnicas que permitan abordar
dicho estudio de un modo sistemático.
Si se analizan distintas muestras, se observa
que las frecuencias relativas de una determinada
modalidad son valores relativamente próximos
entre sí, dependiendo el grado de proximidad,
fundamentalmente, de la raíz cuadrada de los
tamaños de las muestras.
Se debe experimentar con muestras de tamaño
creciente, de modo que se vaya tomando consciencia
de la estabilización de las frecuencias relativas
a medida que aumenta el número de pruebas.
Este proceso conduce a la percepción de que
existe un número (la probabilidad) hacia el que
tienden las frecuencias, pero también al hecho de
que esta tendencia es muy lenta. En este sentido,
el uso del ordenador es de gran ayuda, pues per-
19
Currículum
ESPECIFICACIONES PARA EL CUARTO CURSO
La diversidad de intereses, motivaciones,
actitudes y aptitudes de los alumnos en
los últimos cursos de la Enseñanza Secundaria
Obligatoria, exige que, al menos en este último
curso, se propongan dos opciones cuyo tratamiento
ha de ser distinto, tanto en los contenidos,
como en la forma de abordar su estudio. Ello no
afecta al resto de los elementos curriculares (objetivos,
metodología y evaluación).
Las siguientes orientaciones generales, intentan
ilustrar la diferente intencionalidad de ambas
opciones.
OPCIÓN A
En todos los bloques se pondrá el énfasis en
los contenidos básicos enfocados al logro de tres
metas:
ä Asegurar los aprendizajes matemáticos
necesarios en su actual formación académica.
ä Desenvolverse con soltura en situaciones
cotidianas.
ä Tener acceso a distintas ofertas profesionales
en un futuro inmediato.
Se centrará la atención en la resolución de
situaciones problemáticas en una amplia gama
de contextos, con un tratamiento donde prime la
construcción intelectual de procedimientos frente
a la formalización de contenidos matemáticos.
La aplicabilidad, la diversidad de medios e instrumentos
(tablas, gráficas, calculadoras, etc.) y
el desarrollo de la capacidad de “aprender a
aprender”, serán los ejes fundamentales de esta
opción.
mite simular la realización de un gran número de
pruebas en un tiempo razonable.
Antes de realizar medidas o cálculos sobre la
probabilidad es conveniente que los alumnos y
las alumnas, lo mismo que con cualquier otro tipo
de medidas o de cálculos, anticipen una apreciación
del valor de la probabilidad.
A partir de las probabilidades de los sucesos
simples calculados por la regla de Laplace, por
medio de frecuencias o por simple estimación, se
calcularán las probabilidades de sucesos complejos
analizándolos previamente y aplicándoles las
reglas de probabilidad necesarias.
Si se modifican las condiciones iniciales de un
experimento aleatorio varían normalmente las
probabilidades de los sucesos. Se estudiará esta
dependencia aleatoria (o independencia, en su
caso) y se desarrollará el concepto de probabilidad
condicionada y, en contraposición, el concepto
de sucesos independientes.
Es necesario que las alumnas y los alumnos
lleguen a comprender que la toma de decisiones
en el estudio de los fenómenos aleatorios es algo
que se puede sistematizar. En tal sentido, los juegos
de azar son una fuente importante de situaciones
para trabajar e incentivar, con actitud crítica,
la toma de decisiones y el análisis de los errores
más frecuentes relacionados con ellas.
En la toma de decisiones no debe influir de
manera única la probabilidad de un suceso, sino
que habrá de asociársele la ganancia o pérdida
que supone la realización de tal suceso. Ello conduce
a la necesidad del estudio de la esperanza
matemática, de modo que el cálculo de la
probabilidad adquiera todo su sentido.
20
Área de Matemáticas
OPCIÓN B
Se potenciará una mayor profundización en
los conceptos y procedimientos matemáticos,
mediante una utilización de distintos lenguajes
simbólicos y de representación formales.
En Números y Medidas, se profundizará el
acercamiento a las sucesiones, en el sentido de
intuir la existencia de patrones que, matemáticamente,
son inacabables. No se hace mención
explícita de ninguna idea de infinito (actual o
potencial) o de límite.
En Álgebra, se profundizará en el tratamiento
codificado de distintas situaciones y se abordará
la resolución de inecuaciones de primer grado,
sin necesidad de exponer una teoría sobre ellas.
En Gráficas y Funciones, se profundizará en
la noción de dependencia funcional, construyendo
un concepto de función y se procurarán destrezas
en el manejo de funciones dadas por expresiones
elementales.
En Geometría, se profundizará en el razonamiento
proporcional, con ayuda de las
homotecias y semejanzas. También se abordarán
situaciones trigonométricas de mayor complejidad.
En el Tratamiento de la información Estadística
y del Azar, se intensificará el manejo de variables
aleatorias ligadas a los juegos de azar.
En resumen, las líneas fundamentales de esta
opción B se orientarán hacia un mayor grado de
rigor, de formalización, de abstracción y de precisión
que en la Opción A. Se propondrán ejemplos
sencillos de demostraciones o se potenciarán las
que surjan espontáneamente de los alumnos y las
alumnas.
21
Currículum
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
En el Anexo de Aspectos Generales se ha
definido el marco en el que debe encuadrarse
la enseñanza de cualquiera de la Areas de
esta etapa educativa. Dentro de este marco conviene
ofrecer una serie de pautas orientativas que
guíen la actuación del profesor en los procesos de
enseñanza y favorezcan, paralelamente, los procesos
de aprendizaje de los alumnos.
La construcción de los conocimientos matemáticos
parte de la actividad, la representación y
la reflexión sobre ella. Equilibrar estas perspectivas
es una tarea de primer orden.
La estructuración del conocimiento matemático
es un proceso a largo plazo que necesita la
“construcción” de instrumentos intelectuales cada
vez más eficaces y sistemáticos para interpretar,
representar, analizar, explicar y predecir hechos y
fenómenos de distintas características, entre los
que ocupan un lugar importante los referidos a la
“realidad”. Este proceso, la reflexión compartida
acerca de las actividades realizadas por los alumnos
y alumnas, ha de tener un lugar preponderante.
El grupo permite la confrontación de puntos
de vista y opiniones; ayuda a relativizar la propia
perspectiva y conduce al logro de una objetividad
creciente.
Las alumnas y los alumnos poseen conocimientos
de tipo matemático que se han ido configurando,
a partir de la propia experiencia, en la
Educación Primaria a nivel escolar y extraescolar.
El trabajo instructivo que los tiene en cuenta se
enriquece con experiencias nuevas y ayuda a
establecer relaciones sustantivas entre lo conocido
y lo que se va a aprender.
El profesor juega un papel crítico en la
creación de un clima relacional en el aula que
transforma un simple espacio físico en un espacio
de trabajo compartido. El profesor debería
tener en cuenta las informaciones que el grupo
de alumnos le envía para favorecer los procesos
de aprendizaje y graduar los distintos ritmos de
trabajo.
El marco en el que se sustenta este currículum
permite distintos enfoques que son necesarios
y convenientes para estructurar y secuenciar
los conceptos, procedimientos y actitudes. También
son necesarios para abarcar la enorme
riqueza derivada de la diversidad de centros, de
profesores y de alumnos, y para poder traducir
situaciones genéricas a situaciones formativas
para los alumnos. Por ello, con los siguientes criterios,
se pretenden enunciar ciertas zonas de
encuentro y de equilibrio entre distintos enfoques
metodológicos que permiten orientar el trabajo
en el aula:
ä Interesar a los alumnos y alumnas en los
objetos de estudio que se vayan a trabajar.
Favorecer el interés de los alumnos es un
aspecto tan necesario para el aprendizaje del área,
como complejo. La diversidad de situaciones y
variables que inciden en cada aula, impiden articular
soluciones óptimas de validez general. Algunas
sugerencias que pueden resultar útiles son:
• Procurar una variada gama de situaciones
didácticas surgidas en diversos contextos.
Un contexto puede ser: una situación problemática
de la vida real, la consecuencia
de un trabajo comenzado, una propuesta
de centro de interés hecha por los alumnos,
una propuesta sugerida por el profesor
(relacionada con otras situaciones), problemas
de resolución no inmediata, textos de
historia de las matemáticas que den una
perspectiva cultural, etc.
• Utilizar recursos diversos que permitan, a
los alumnos y alumnas, la manipulación (a
fin de comprender los conceptos, utilizarlos
con un propósito práctico y recurrir a ellos)
para verificar los resultados obtenidos y las
conclusiones elaboradas.
• Hacer evidente la funcionalidad de “esos”
objetos de estudio para el aprendizaje,
enunciando las metas y los conocimientos
deseables; proporcionar a los alumnos y
alumnas la oportunidad de poner en práctica
en “situaciones nuevas” los conceptos,
procedimientos y actitudes trabajados y
aprendidos de manera que se ponga explícitamente
de manifiesto su utilidad.
• Resaltar actitudes positivas que surjan entre
los alumnos, para introducir un clima “adecuado”
de trabajo que equilibre el esfuerzo
individual y el colectivo.
• Crear un ambiente de trabajo que facilite las
relaciones de comunicación durante la
clase, sin agobios de tiempo.
Con este tipo de actividades los alumnos han
de “operar”, también, con opiniones, ponerse en
el lugar de otros, refutar, argumentar en contra o
aportar datos. Se construyen y refuerzan actitudes
y valores propios de la “actividad matemática”:
mayor autonomía de pensamiento, más confianza
en sus propias habilidades, gusto por la
certeza, etc.
ä Tener en cuenta, en cada situación de
aprendizaje, los conocimientos que los
alumnos y alumnas ya poseen.
La existencia de diferencias entre los alumnos,
ya sea en conocimientos, ya sea en capacidades,
aconseja orientar la acción docente en el sentido
de proporcionar experiencias y actividades
que permitan conocer la realidad inicial.
Los alumnos disponen de una serie de conocimientos
y actitudes que influyen en el aprendizaje
matemático y que son punto de partida obligado
para la reestructuración de sus conocimientos.
En este sentido, deberían combinarse sugerencias
como las siguientes:
• Suscitar, ante cada nueva situación o tarea,
la expresión de lo que los alumnos conocen
sobre ella, aunque dicha expresión no
22
Área de Matemáticas
se adecue, por tratarse de “ideas previas” o
“intuiciones”, a los modos de expresión
corrientes entre matemáticos.
• Desarrollar la convicción de que los errores
son fuente de aprendizaje y una poderosa
herramienta para analizar la naturaleza de
los propios conocimientos y superar sus
deficiencias.
• Respetar distintas “lógicas” en la presentación
de informes o en las discusiones matemáticas
de los alumnos, dentro de un proceso
de aproximaciones sucesivas al
conocimiento.
ä Analizar el objeto de estudio, para programar
la diversidad de actividades que
materializan el proceso de enseñanza y
para presentar los contenidos de forma
integrada y recurrente.
Afrontar este criterio tiene implicaciones a
distintos niveles que no deben recorrerse de
forma rígida y lineal. Algunas son:
• Integrar los objetivos y contenidos en
actuaciones concretas, estructuradas como
unidades lectivas o unidades didácticas,
que sirvan para el aprendizaje de los alumnos
y alumnas.
• Analizar los contenidos sobre los que se va
a trabajar para disponer de una visión global,
que abarque la etapa, y de una visión
referida a la unidad de trabajo.
• Examinar las estructuras de los conceptos y
procedimientos que van a ser estudiados
relacionándolos entre sí y con otros conceptos
y procedimientos. Esto permite establecer
diversos itinerarios didácticos y
estructurar, a menudo, la secuencia concreta
de tareas que han de realizar los alumnos.
• Valorar el soporte conceptual necesario
para trabajar con cierta garantía de éxito
sobre cada objeto de estudio (teniendo en
cuenta el soporte conceptual que los
alumnos y alumnas ya han puesto de
manifiesto).
• Explicitar grados intermedios de formalización
y profundización entre los conocimientos
de los alumnos y alumnas y las
características del conocimiento matemático
en cuestión.
ä Utilizar distintas estrategias didácticas.
Resulta imprescindible buscar y encontrar un
equilibrio entre distintos enfoques metodológicos,
lo que requiere, por una parte, que las tareas
matemáticas de los alumnos y alumnas surjan en
contexto, que partan de una cierta “realidad” susceptible
de ser matematizada (evitando, por tanto,
la teoría por la teoría), y, por otra, que las vivencias
matemáticas no sean reducidas a la pura
experimentación y “tanteo”.
Este criterio está especialmente relacionado
con todos los demás y, por tanto, su caracterización
está explicitada horizontalmente en los otros
criterios. De todas formas, algunas “herramientas”
para el profesor son:
• Analizar y estructurar la secuencia concreta
de tareas que han de realizar los alumnos y
alumnas.
• Invitar, sistemáticamente, a los alumnos y
alumnas a resumir y sintetizar la labor realizada.
• Resumir y sistematizar la tarea realizada,
integrándola con tareas y actividades anteriores.
• Orientar y reconducir las cuestiones enunciadas
por los alumnos y alumnas, de
manera que se conviertan en cuestiones
matemáticas pertinentes y a su alcance.
• Facilitar los medios que permitan a los
alumnos y alumnas contestar a las preguntas
que se han formulado, suscitando estilos
y climas de trabajo que faciliten la
comunicación y la consecución de la tarea.
23
Currículum
• Comunicar el trabajo realizado, expresándolo
en un lenguaje pertinente en el contexto
de la situación y de la intención
comunicativa.
• Explicitar, con la mayor precisión posible,
el proceso y los instrumentos de evaluación,
indicando su ponderación relativa.
• Evaluar la metodología a posteriori (tareas
realizadas, objetivos perseguidos, los conocimientos
utilizados, grado de “implicación”
del grupo).
Herramientas metodológicas más globales,
que, en relación con la lista precedente, contribuyen
a la consecución de posibles organizaciones
del trabajo, son las que se basan en la “resolución
de problemas” y en los “trabajos de investigación”.
Permiten desde la adquisición de destrezas
básicas, hasta el desarrollo de temas generales
de investigación (al alcance de los alumnos
y alumnas), así como el desarrollo de capacidades
(enunciar y comprobar conjeturas, elaborar y utilizar
estrategias para la resolución de una situación
problemática, pensar en estrategias alternativas,
utilizar instrumentos y técnicas diversas en un
contexto de aprendizaje, reflexionar sobre el proceso
seguido y valorar los resultados, tomar decisiones,
y entre otras, comunicar un trabajo referido
a un proceso concreto sobre el que han podido
trabajar otros alumnos).
ä Observar y coordinar el desarrollo de
las tareas en el aula, procurando que
cada alumno alcance su ritmo de trabajo
óptimo.
Asumir la diversidad de situaciones, de capacidades
y de intereses que se dan en el aula, obliga
a equilibrar de nuevo, el respeto del ritmo personal
de trabajo de cada alumno y el reconocimiento
de que no todos tienen por que llegar a los
mismos niveles de conceptualización, con el
necesario estímulo para que se alcance el nivel
más adecuado de trabajo de los mismos.
Los centros escolares deben favorecer la integración
social. También deben ser lugares que
propicien el desarrollo de la personalidad de cada
cual y el respeto y la solidaridad con los demás.
Esta doble meta exige la búsqueda de zonas de
equilibrio.
Algunas estrategias a las que puede recurrir el
profesor son:
• Ofrecer en cada caso el tiempo necesario
para la construcción significativa de los
conocimientos.
• Alternar el trabajo individual con el de
grupo y propiciar el intercambio fluido de
papeles entre alumnos y alumnas como
mecanismo corrector de posible prejuicios
sexistas.
• Diversificar el uso de códigos y modos de
expresión con objeto de que los alumnos
y alumnas establezcan relaciones pertinentes.
• Individualizar, en la medida de las posibilidades,
el seguimiento concreto del aprendizaje
de cada alumno.
• Coordinar los distintos ritmos de trabajo y
de adquisición de conocimientos.
ä Evaluar regularmente con los alumnos y
alumnas el trabajo realizado.
La consideración de la evaluación como criterio
metodológico (y no solamente como tarea
del profesor, en tanto que coordinador de la
secuencia educativa), se fundamenta en que la
participación en algún tipo de evaluación relacionada
con el proceso de enseñanza-
aprendizaje ayuda a involucrar a los alumnos
y alumnas en la comprensión de su propio
proceso de aprendizaje. Al compartir algunos
aspectos de esta tarea (metodología de trabajo,
papeles asumidos por el profesor y los alumnos,
rendimientos obtenidos, etc.) se promueve, casi
siempre, el esfuerzo en los próximos aprendizajes
y se facilita la gestión de las siguientes secuencias
de actividades.
24
Área de Matemáticas
ä Tener en cuenta los condicionantes
externos e internos.
Deben considerarse los condicionantes que la
práctica cotidiana introduce en la “realidad” de los
centros de enseñanza. Algunos de ellos son:
• El tiempo. Influye de dos maneras en el trabajo
del aula. Globalmente, porque fija en
cuatro cursos escolares el tiempo concedido
para conseguir los aprendizajes deseados.
Localmente, porque fija la duración
habitual de las clases de matemáticas. Este
último depende esencialmente del profesor,
que puede dosificar y repartir los tiempos
entre los distintos tipos de tareas que
van a realizar los alumnos con él (intervenciones
del profesor, trabajo personal, tareas
de grupo, ...).
• El espacio. La gestión del aula es un elemento
importante en el aprendizaje. Además
de los elementos objetivos (como son,
por ejemplo, iluminación, espacio de trabajo,
mobiliario de almacenamiento), influyen
otros elementos, de carácter más subjetivo,
como son: la disposición de las mesas
de los alumnos según se trate de un trabajo
individual o en grupo, la accesibilidad de
los recursos necesarios, ...
• Los materiales y recursos. Una gestión racional
de su uso permitirá un aprovechamiento
óptimo por los alumnos y las alumnas.
25
Currículum
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
En el Anexo de Aspectos Generales se
han definido los objetivos y las características
de la evaluación del proceso educativo, así
como el conjunto de elementos que deben evaluarse.
La contribución específica que desde este
área puede hacerse a este proceso, se traduce en
una mayor concreción de determinados aspectos
de la evaluación del desarrollo de las capacidades
de los alumnos. De ella pueden obtenerse informaciones
para la evaluación del resto de los elementos
que participan en el proceso educativo.
En este apartado se establecen criterios que
ayudan a valorar el desarrollo de las capacidades
propuestas. La flexibilidad con que deben ser usados
se comenta igualmente en el Anexo de Aspectos
Generales.
Estos criterios de evaluación emanan de la
justificación que se ha hecho del área y, por tanto,
de la propuesta de objetivos realizada.
El proceso de evaluación hace referencia al
seguimiento y valoración de los aprendizajes de
los alumnos y alumnas, que el profesor realiza de
forma sistemática y continua.
ä Sobre la complejidad de los conceptos y
procedimientos adquiridos.
La actividad matemática que realiza el alumno
le obliga a relacionar distintos aspectos del
conocimiento matemático (notaciones, destrezas,
conceptos, procedimientos,...). La evolución de
estos usos, expresiones o menciones indica mejora,
estancamiento o dificultades en el aprendizaje
de los alumnos y alumnas.
Es necesario, sin embargo, asumir que hay
contenidos de uso común que entrañan dificultades
de comprensión para los alumnos, por ejemplo:
enteros negativos, algoritmos de la suma de
fracciones, manipulación de desigualdades o
manejo de variables. Su apropiación no es un proceso
lineal y la propia historia de la construcción
de los conocimientos matemáticos muestra buenos
ejemplos de ello.
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad
del alumno para:
• Expresar ideas y relaciones matemáticas
utilizando terminologías, notaciones y
estructuraciones adecuadas al nivel de
aprendizaje donde se esté trabajando.
• Elaborar y manejar representaciones (gráficos,
modelos, diagramas,...) para expresar
conceptos, discriminando entre sus características
más o menos relevantes. y, establecer
relaciones entre los mismos.
• Justificar los distintos pasos de un procedimiento,
valorando la oportunidad de los
mismos.
ä Sobre la capacidad de abstracción.
La capacidad de abstracción se reconocerá,
fundamentalmente, en los procesos de matematización
de situaciones tomadas de la vida cotidiana,
en la elaboración de estrategias para resolver
problemas, en la optimización de los enfoques
que permiten resolver situaciones planteadas y en
la sistematización de las conclusiones del trabajo
realizado.
Por ejemplo, en el caso de un juego, unos
alumnos orientarán su actividad a convertirse en
“buenos jugadores”, mientras que otros intentarán
determinar estrategias ganadoras o relaciones
prohibidas, lo que denota una mejor capacidad
de abstracción actual desde el punto de
vista de las matemáticas (sin que esto prejuzgue
que los que empezaron intentando hacerse
“jugadores expertos” no puedan llegar, posteriormente,
a realizar tales abstracciones u otras
más potentes).
A menudo, conocimientos previos no adecuadamente
contrastados influyen negativamente
en la capacidad de abstracción. Esto ocurre, por
ejemplo, cuando un alumno anuncia su expectativa
de que al multiplicar dos números siempre
debe salir algo mayor que esos números (esto ni
siquiera es cierto entre naturales ya que 0x5=0;
1x5=5)... El mismo fenómeno ocurre con el razonamiento
proporcional, cuando se aplica irreflexivamente.
Una buena capacidad de abstracción
incluye la actitud precautoria que lleva a reconocer
las limitaciones de los conceptos y procedimientos
que se están usando.
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad
del alumno para:
• Sistematizar y resumir conclusiones de un
trabajo realizado e interpretar las ideas
matemáticas presentes, en distintas formas
de expresión.
• Traducir los elementos de un problema de
un modo de expresión a otro (por ej. De
un enunciado a una gráfica) y, argumentar
las estrategias más oportunas para su resolución.
• Localizar un mismo concepto en distintos
contextos, valorando su utilidad como
modelo explicativo.
ä Sobre el dominio jerárquico de contenidos.
Se trata de un aspecto paradójico en el proceso
de construcción de los conocimientos por los
alumnos. El dominio jerárquico de los contenidos
se elabora, frecuentemente, a partir del rechazo
de las posibilidades menos fecundas y potentes a
largo plazo, pero éstas, a su vez, son más útiles en
la resolución de problemas a corto plazo, ya que
permiten conectar de forma significativa los conocimientos
de los alumnos y alumnas con otras formas
más elaboradas de los mismos.
A la evolución de este aspecto contribuirá de
manera decisiva un tratamiento metodológico
que evite “imponer” los procedimientos cuya eficacia
resulta evidente al profesor, en beneficio
(provisional) de los procesos de resolución,
actualmente empleados por los alumnos y, que
estructure cuidadosamente los temas a tratar, de
manera que los alumnos descubran como ciertos
conceptos y destrezas resultan, a la larga, más
rentables que otros.
Así las medidas indirectas implican un dominio
jerárquico de ciertos contenidos geométricos
ya que basta, por ejemplo con conocer la medida
(directa) de la longitud del lado de un triángulo
equilátero para deducir la medida del resto de las
magnitudes que puedan interesar de él.
26
Área de Matemáticas
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad
del alumno para:
• Conocer hechos específicos con la terminología
adecuada y, relacionar conjuntos
estructurados de hechos mediante
conceptos.
• Utilizar algoritmos (numéricos, geométricos,
algebraicos, ... ) para efectuar operaciones y,
conocer sus limitaciones.
• Organizar y analizar datos e informaciones
y, reconocer y descubrir relaciones.
ä Sobre el uso de herramientas lógicas.
Con la expresión “herramientas lógicas” no se
hace referencia a conocimientos de Lógica, que
no se incluyen en este currículum, sino al uso
correcto de algunas formas del razonamiento que
son de uso común y elemental.
Por ejemplo, “si se reconoce que un cuadrilátero
tiene un ángulo que no es recto, se puede
deducir que no es rectángulo” o “si se observa
que, al cabo de 100 lanzamientos de un dado, ha
salido el «6» 97 veces, se puede deducir, que el
dado está trucado”. En el primer caso la deducción
es lógica, porque hace referencia a elementos
característicos de la definición de un rectángulo;
en el segundo caso, la deducción es “plausible”,
se ha experimentado el lanzamiento de
dados, pero no hay ninguna razón matemática
que la avale.
En esta etapa las “herramientas lógicas”
deberían permitir al alumno convencerse de algo,
convencer a un compañero y, por último convencer
a su profesor. Se excluye, por tanto, la exigencia
de demostraciones impecables; si el profesor
detecta su aparición espontánea en el discurso
de algunos alumnos, podrá ser procedente
o inadecuada, según los casos, su imposición al
resto de la clase.
El desarrollo de tales “herramientas” va
unida al desarrollo de actitudes encaminadas a
enunciar, del modo más preciso posible, las
condiciones en las que se cumplen determinados
resultados obtenidos; a conectar un
nuevo resultado con otros anteriores, de manera
que se mejore en lo posible la “red” de conocimientos
matemáticos; a inducir resultados a
partir de casos particulares; a seguir los pasos de
una argumentación, comprendiendo su oportunidad
y/o a detectar posibles errores en la
misma.
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad
del alumno para:
• Reconocer patrones y proponer hipótesis
explicativas (conjeturas).
• Verificar conclusiones y realizar inferencias
empleando distintas formas de razonamiento
(inductivo, informal, proporcional,
espacial, analógico, deductivo).
• Enunciar argumentos para convencer a los
demás, valorar y criticar los argumentos de
otros y, elaborar contraejemplos.
• Ejemplificar procedimientos y resultados
generales.
ä Sobre el uso adecuado de notaciones y
procedimientos.
Algunas preguntas que el profesor tiene que
hacerse al relacionar este apartado con el proceso
de evaluación son: ¿cuál es la mínima notación
que conviene introducir?, ¿cuál es la máxima
diversidad procedimental que cabe aceptar?, ¿se
está dando el equilibrio adecuado entre, por una
parte, el aprendizaje y, por otra, las expresiones
formales o el progresivo rigor en la expresión de
los razonamientos?
Hay notaciones que favorecen el proceso de
aprendizaje y hay notaciones que generan dificultades
innecesarias. El profesor tiene que buscar
un equilibrio en este aspecto para favorecer el
aprendizaje significativo.
27
Currículum
En relación con los procedimientos de resolución,
la situación se invierte. Si se trata, por
ejemplo, de determinar la suma de los “n” primeros
números impares, el recurso consistente en
aplicar la fórmula de la suma de una progresión
aritmética, es solo una vía posible; puede admitirse
también la vía geométrica o la construcción de
una tabla que organice la información y sugiera
una posible respuesta, etc. Todos estos algoritmos
deben tener cabida y ser reconocidos como capaces
de aportar la clave de la respuesta. La propia
respuesta correcta no es sólo “n al cuadrado; son
igualmente aceptables “el cuadrado de lado n” o
“el cuadrado de la fila en que estoy”.
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad
del alumno para:
• Utilizar distintas notaciones, argumentando
la conveniencia de cada una para describir y
trabajar en una situación.
• Comparar ideas matemáticas con la misma
o distinta notación, valorando el papel del
simbolismo.
• Utilizar distintos procedimientos, argumentar
la conveniencia de cada uno para operar
en cada situación y, describir el procedimiento
empleado en la resolución de un
problema.
• Efectuar ampliaciones, generalizaciones y
optimizaciones de procedimientos para
resolver problemas no rutinarios.
28
Área de Matemáticas
31
El Decreto 106/1992, de 9 de junio, ha
fijado el curriculum de la Educación
Secundaria Obligatoria en nuestra Comunidad
Autónoma. Se trata de un curriculum abierto y
flexible cuya concreción y desarrollo corresponde
al profesorado. Se establecen, de este
modo, tres niveles de concreción curricular asumidos
respectivamente por la Administración
autónoma, los centros docentes y los profesores,
que harán explícitas sus propias aportaciones
a través de tres instrumentos básicos: los
Decretos de Enseñanza, los Proyectos Curriculares
de Centro y las Programaciones de Aula.
La elaboración y desarrollo del Proyecto
Curricular de Centro es una competencia de cada
comunidad educativa. En ejercicio de la autonomía
pedagógica reconocida a los centros docentes
y equipos de profesores por la Ley Orgánica
1/1990 de 3 de octubre, serán éstos los que completen,
planifiquen y desarrollen el curriculum,
incorporando las peculiaridades de su realidad
socio-cultural y las propias de su experiencia y
profesionalidad docente.
Esta concepción abierta del curriculum
requiere que cada equipo educativo elabore,
entre otros elementos, propuestas concretas de
secuenciación de los contenidos de la etapa, por
lo que parece conveniente que se establezcan criterios
y orientaciones que faciliten las decisiones
colegiadas del profesorado en este tema.
La secuenciación de contenidos que a continuación
se desarrolla constituye una de las posibles
secuencias que, coherentemente con el diseño
del área, pueden establecerse y que se ofrece
para orientar y facilitar ese proceso de toma de
decisiones. Al mismo tiempo, esta secuenciación
tendrá un carácter supletorio, debiéndose aplicar
en los diversos centros hasta tanto no hayan explicitado
este conjunto de decisiones en sus propios
proyectos curriculares.
Los criterios generales que sustentan esta
secuenciación de contenidos proceden de perspectivas
diferentes pero necesariamente complementarias.
Por un lado recogen aquellas
aportaciones que, desde la didáctica específica
del área, resultan esenciales para informar una
adecuada secuenciación de los contenidos en la
etapa. De otra parte, se consideran aquellas
otras que, proviniendo de campos diversos del
conocimiento social, no estrictamente disciplinares
o científicos, o de requisitos sociales nuevos,
resultan ser básicas para adoptarlas en un
planteamiento educativo moderno. Finalmente,
se toman en consideración las características de
los alumnos en esta etapa educativa, sus peculiaridades
evolutivas, su estructura de pensamiento,
su desarrollo afectivo y social y los
principios generales de aprendizaje: concepciones
previas, intereses y motivación, distancia
óptima entre conocimientos nuevos y los ya
aprendidos, etc.
INTRODUCCIÓN
Todo ello deberá articularse en una propuesta
didáctica que considere la Cultura Andaluza
como otro de los referentes básicos para esta
toma de decisiones, y que tenga en cuenta las
características de esta etapa educativa.
Dentro del proyecto curricular de Centro, la
secuenciación de contenidos constituye uno de
sus aspectos más definitorios. A la vez, es posiblemente
el más complejo de establecer
fundamentadamente.
En el diseño curricular del Área se ha realizado
una selección de contenidos básicos y significativos
para el proceso de aprendizaje del alumno
de acuerdo con las intenciones educativas definidas.
En la secuenciación debe darse prioridad a
aquellos conocimientos que actúen como organizadores
y hagan posible una estructura que facilite
las relaciones entre los diferentes contenidos
seleccionados.
La secuenciación hace referencia a los criterios
que orientarán y ordenarán el tratamiento de
los contenidos a lo largo de la etapa en aspectos
tales como:
* Niveles de formulación adecuados que se
desarrollarán en la etapa y ciclos que la
componen.
* Evolución del grado de desarrollo de las
capacidades que se promueven durante los
ciclos de la etapa.
* Ordenación de las secuencias generales de
contenidos en cada uno de los ciclos.
* Definición de los criterios esenciales para la
secuenciación.
De acuerdo a este planteamiento general, se
establecerán, en primer lugar, los criterios de
carácter general que informarán la secuencia de
los contenidos del área en Andalucía para, más
adelante, definir las secuencias interciclos, esto
es, el tratamiento de los diversos contenidos en
cada uno de los ciclos de la etapa.
Esta secuenciación respeta los cinco núcleos
de contenidos que aparecen en el decreto de
Enseñanzas, distribuyéndolos en cuatro momentos
de la Etapa: Primer Ciclo, Tercer Curso y Cuarto
Curso,Opción “A” y Opción “B”. Así mismo
contempla dos tipos de contenidos: de tratamiento
continuado a lo largo de la Etapa y de
tratamiento preferente en cada uno de los
ciclos o momentos.
Los contenidos de tratamiento continuado
incluyen los procedimientos de tipo general y las
actitudes y valores para toda la etapa. Todos ellos
impregnan los conceptos y procedimientos específicos
de los distintos núcleos y han de ser tenidos
en cuenta en la formulación de los objetivos
de cada unidad didáctica, en las estrategias metodológicas
que se ponen en juego y en los procesos
concretos de evaluación.
Los contenidos de tratamiento preferente de
cada ciclo o momento incluyen los conceptos
(hechos y estructuras conceptuales) y procedimientos
específicos de cada núcleo (que en
muchos casos son particularizaciones de los
generales).
32
Área de Matemáticas
CRITERIOS GENERALES PARA LA SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS
Secuenciar los contenidos que han de trabajarse
en cada uno de los ciclos de la Educación
Secundaria Obligatoria es una tarea compleja
cuya realización implica una determinada concepción
del Área de Matemáticas, de cómo aprenden
los alumnos de estas edades y de qué modelo o
modelos de organización se consideren adecuados.
La propuesta que se formule deberá ser coherente
con el modelo de curriculum que se establece
en los Decretos de Enseñanza de Andalucía, con
las bases psicopedagógicas que lo fundamentan y
con las finalidades educativas que establecen.
Una secuenciación que se derivara linealmente
de un solo criterio, por importante y sólido que
éste fuese, difícilmente podría adecuarse a dicho
modelo de curriculum. Se hace necesario, por
tanto, establecer un conjunto de criterios que
deberán ser considerados simultáneamente para
la adopción adecuada de las decisiones curriculares
que nos ocupan:
ä Tener en cuenta las ideas previas y las
posibles dificultades de los alumnos.
En un proceso de aprendizaje de las matemáticas
intervienen los conocimientos previos
de los alumnos referidos tanto a conceptos como
a procedimientos. Como resultado del aprendizaje
se mejoran, progresivamente, los conceptos
previos y se perfeccionan las procedimientos
(hasta llegar a ser métodos o incluso algoritmos
de aplicación directa). La constatación de los
errores marca, parcialmente, un camino que permite
mejorar los conceptos y refinar los procedimientos.
Por lo general, el conocimiento correcto
no se adquiere a la primera; es preciso pasar
por etapas en las que el conocimiento expresado
no es correcto pero va siéndolo cada vez más.
Por ello, el diagnóstico de los errores cometidos
por las alumnas y los alumnos constituye una
información de singular importancia para el
aprendizaje.
ä Distribuir los conocimientos de forma
cíclica.
Los aspectos cíclicos de esta secuenciación
son una respuesta a la complejidad de los conceptos
y procedimientos matemáticos. Permiten
así cierta continuidad en el tratamiento de los contenidos
y se establecen niveles de formulación de
complejidad creciente, al tiempo que se facilita la
conexión con las ideas previas de los alumnos.
Aparecen habitualmente de la siguiente manera:
por cada parte significativa de un núcleo en un
ciclo o curso, se propone un acercamiento que
comienza, casi siempre, por cuestiones más sencillas
y generales o por amplias revisiones que se
irán profundizando progresivamente. En muchos
casos, los comentarios que acompañan a los epígrafes
avisan de las principales dificultades que el
profesor debe esperar que encuentren sus alumnos
(con independencia de la estrategia de enseñanza
que se adopte).
ä Establecer puentes que faciliten el acercamiento
entre el conocimiento matemático
deseado, y los distintos grados de
conocimiento matemático que poseen
los alumnos.
El conocimiento correcto (en el sentido de
las matemáticas) no implica ni su expresión de
forma idéntica o uniforme (por parte de quienes
lo poseen o lo aprenden) ni la unicidad de los
procedimientos empleados. Se propone el aprendizaje
de métodos de resolución considerados
óptimos desde el punto de vista de las matemáticas;
pero también se deja un amplio margen para
que los alumnos y las alumnas comprendan su
carácter de referencia, y los elijan (o no) frente a
otros procedimientos que, sin ser óptimos, igualmente
permiten resolver situaciones, problemas
o enunciados.
Los formalismos de las matemáticas constituyen
prodigiosas herramientas intelectuales. Las
limitaciones que impone su manejo y el desarrollo
cognitivo medio de los alumnos de la Etapa
aconsejan graduar su introducción. Al poner el
énfasis en la diversidad de procedimientos, se
avanza lentamente hacia puntos de llegada que
admiten mejor el rigor y el formalismo de las
matemáticas y, por tanto, acercan a los alumnos a
procesos óptimos de trabajo.
ä Articular los conocimientos en torno a
estructuras conceptuales y procedimientos
que se consideran hoy significativos
para el aprendizaje matemático.
Existen numerosas investigaciones sobre los
principales obstáculos que encuentran los alumnos
en sus aprendizajes matemáticos. Se ha procurado
articular esta propuesta en torno a los
resultados más significativos y consensuados.
33
Secuenciación de Contenidos
Pero ha de tenerse en cuenta que los resultados
de cualquier investigación son siempre
provisionales, y han de ser contrastados con sucesivas
experimentaciones.
ä Buscar un equilibrio entre la lógica interna
de las matemáticas, la lógica del alumno
y las finalidades educativas de la
etapa.
La lógica interna de la matemática impone,
en algunos casos, determinadas condiciones
que no pueden obviarse (por ejemplo, es razonable
abordar la proporcionalidad antes que la
trigonometría), pero no ha sido el único criterio
de secuenciación; se ha tenido en cuenta a los
destinatarios de las enseñanzas y las aportaciones,
de tipo funcional y estructurante, que las
matemáticas pueden proponer para un desarrollo
personal y una proyección social armoniosa.
Estas dimensiones implican ofrecer a los alumnos
y alumnas, en mayor o menor grado, la
posibilidad de que vivencien determinados procesos
entre los que pueden destacarse: la
estructuración de informaciones y datos relativos
a situaciones originadas en la vida cotidiana
o en la actividad matemática; la reconstrucción
de conocimientos matemáticos y su relación
con los de otros ámbitos; el uso de modelos,
como estructuras conceptuales, para comprender,
organizar e interpretar distintos tipos de
situaciones reales o posibles; la resolución de
problemas de forma reflexiva y cooperativa; la
planificación de acciones valorando y relacionando
distintos elementos que inciden en ellas;
el disfrute con cuestiones recreativas y estéticas
de las matemáticas; el desarrollo del gusto por
la certeza; el reconocimiento de argumentaciones,
inferencias o razonamientos propios o ajenos
y su valoración crítica; la perspectiva del
propio aprendizaje para considerar deseable su
continuación.
ä Tener en cuenta las estrategias metodológicas
que propicien la acción de los
alumnos.
Esta secuenciación se ha diseñado para servir
a distintas estrategias de enseñanza, así como a
una gran variedad de concepciones y decisiones
acerca del uso de materiales didácticos y recursos,
pero resulta más adaptada a unas estrategias
que a otras.
El aprendizaje de las matemáticas debe poner
en juego la acción y el pensamiento del alumno,
y está influenciado por las actitudes con las que se
enfrentan a una situación. Para manejar
utilitariamente objetos matemáticos y para redescubrir
relaciones entre éstos, es esencial suscitar
las actitudes positivas, pues estas inciden en el
deseo de seguir aprendiendo, e inducir las aptitudes
adecuadas.
ä Buscar un equilibrio entre el carácter terminal
y propedéutico de la Etapa.
No todos los alumnos tienen que llegar a los
conocimientos propuestos con el mismo carácter
de formalismo y rigor, para que estos sean significativos.
Ello va a depender de distintos factores
como las aptitudes de los alumnos y la funcionalidad
que en cada caso tengan los conocimientos.
Este equilibrio es especialmente relevante en
las dos opciones del último curso. Una comparación
entre las opciones “A” y “B”, indica tres
características que deben ponerse de manifiesto,
explícitamente, en cualquier secuenciación de
matemáticas:
• En algunos núcleos o partes significativas
de núcleos, no hay diferencia alguna en el
tratamiento de las dos opciones.
• En algunos núcleos o partes significativas
de núcleos, la diferencia entre las
opciones se pone de manifiesto en la
dificultad de las tareas a proponer o en
algunas destrezas más específicas, y
menos en los conocimientos necesarios
para abordarlas.
• En algunos núcleos o partes significativas
de núcleos, la distinción entre las opciones
se orienta a aportar para los alumnos de la
opción “B”, una formación algo más académica
en la que se abordan contenidos y
destrezas nuevas y más abstractas.
34
Área de Matemáticas
COMENTARIOS GENERALES
A LOS NÚCLEOS DE CONOCIMIENTOS
En la secuenciación que se presenta los contenidos
se han estructurado, al igual que en el
Decreto, en cinco núcleos:”Números y Medidas”,
“Algebra”, “Funciones y su representación gráfica”,
“Geometría” y “Tratamiento de la información
Estadística y del Azar”. En el comentario a cada
uno de ellos, se hacen explícitas, las razones que
justifican las decisiones tomadas al realizar la distribución
de sus contenidos a lo largo de la Etapa.
Números y Medidas
En la Educación Primaria, ya se ha trabajado,
fundamentalmente, con números naturales, fracciones,
decimales y porcentajes. Es necesario
apoyarse en los conocimientos adquiridos para
continuar el aprendizaje, enriqueciendo estas
construcciones con el establecimiento de nuevas
relaciones, que permitan consolidar ideas fecundas.
El trabajo con números se iniciará con la
detección de ideas previas para diagnosticar los
principales obstáculos encontrados por los alumnos
y alumnas.
Los objetivos generales de la etapa establecen
líneas de acción que impregnan el tratamiento de
los contenidos de todos los núcleos. Por ello los
números han de ser trabajados de forma que permitan
organizar, interpretar e intervenir en diversos
contextos (entre los que tienen especial relevancia
los relacionados con la realidad) y expresar información
elaborada a partir de estas situaciones. El
contexto y el lenguaje son dos instrumentos esenciales
para el tratamiento de los números.
En esta misma línea han de entenderse las
operaciones numéricas dentro del ámbito de los
procedimientos. Con ellas se pretende desarrollar
las competencias de los alumnos en la utilización
de los números y, por tanto, han de rebasar el
marco de los algoritmos de lápiz y papel (sin olvidarse
de ellos) dando cabida, entre otras, a:
• Las aproximaciones y estimaciones que
permitan explorar con más agilidad distintas
situaciones, valorando la magnitud de
los errores cometidos.
• La construcción de estrategias de cálculo
mental que permitan realizar operaciones
sencillas y especular sobre resultados y
soluciones de problemas.
• Los métodos de trabajo propiciados por calculadoras
y ordenadores.
La funcionalidad de las competencias numéricas
y la diversidad de las operaciones, contribuyen
a que los alumnos y alumnas adquieran actitudes
positivas hacia el ámbito numérico. Estas actitudes
tienen, además, una especial incidencia en el
aprendizaje del resto de los contenidos del área.
El trabajo con números no tiene que concretarse,
necesariamente, en unidades didácticas
especificas. La mayoría de los conceptos y procedimientos,
quizá con la salvedad de algunos muy
específicos (como la divisibilidad), tienen un tratamiento
más contextualizado en relación con otros
núcleos e incluso con otras áreas del curriculum.
Con magnitudes se hace referencia a Longitud,
Superficie, Amplitud, Volumen, Tiempo,
Masa, Peso, Cantidades Monetarias y Temperatura.
Muchas de estas magnitudes se han trabajado
en la Etapa de Primaria y se van a trabajar en otros
núcleos o en otras áreas de esta Etapa. En este
Núcleo, el enfoque general está ligado a procedimientos
de medidas directas o indirectas.
Álgebra
La enseñanza del Algebra está vinculada,
habitualmente, al tratamiento de expresiones
polinómicas, a la resolución de ecuaciones, inecuaciones
y sistemas y a la resolución de problemas
de aplicación directa; se suele marcar el acento
en los procedimientos algorítmicos propios del
35
Secuenciación de Contenidos
SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS
Álgebra y se suele creer que la contextualización
surge de realizar muchos problemas prácticos
después de explicar los algoritmos. Por otro lado,
se recorre demasiado rápidamente el camino que
va de las situaciones concretas, cercanas a las
intuiciones de los alumnos, a las expresiones
algebraicas y a las operaciones formales con ellas.
Este escoramiento, hacia los automatismos, oculta
aspectos básicos del pensamiento algebraico que
tienen que ser trabajados antes de abordar las
operaciones con expresiones algebraicas.
El propósito de este núcleo es propiciar la
construcción de los elementos básicos del lenguaje
y del pensamiento algebraicos. Un punto de
partida lo constituyen los ámbitos de conocimientos
conocidos por los alumnos (aritméticos,
geométricos, gráficos ...), para iniciar procesos de
simbolización, de generalización y de abstracción
que permitan dotar de significado a las expresiones
simbólicas y, posteriormente, abordar la resolución
de ecuaciones (en sentido amplio) y adquirir
un grado razonable de destrezas.
Sin embargo, la presentación del Algebra no
puede limitarse a los procesos -relativamente sencillos-
de simbolización y resolución mediante
reglas operatorias, ya que esta manera de actuar
generará obstáculos en las alumnas y los alumnos
y, por tanto, los limitará a la hora de usar competentemente
el álgebra al final de la Etapa. Dichos
obstáculos proceden más de la práctica escolar
que del propio Algebra.
El lenguaje ordinario es un punto de partida
inexcusable, para conceptualizar el lenguaje simbólico
de las matemáticas. Esta necesaria relación,
puede producir conflictos en un nivel semántico
(donde la terminología, los símbolos y las notaciones
matemáticas tienen un significado claro y
preciso, en oposición a un cierto grado de ambigüedad
del lenguaje ordinario) y en un nivel sintáctico
(donde las reglas son ejecutadas sin ninguna
referencia directa a posibles significados, lo
que las diferencia del lenguaje ordinario).
En este sentido, el uso de varios lenguajes
para representar un concepto, favorece la abstracción
del mismo, porque permite disponer de
más puntos de referencia y establecer más relaciones
significativas con otros conceptos. Por ser
el álgebra un lenguaje que permite expresar y
comunicar ideas abstractas, el hecho de plantear
los procesos de enseñanza-aprendizaje en términos
de traducción de lenguajes (ordinario, gráfico,
aritmético, geométrico y algebraico) permite
adaptaciones a los distintos niveles intelectuales
y ritmos de aprendizaje de los alumnos y alumnas,
favoreciendo el desarrollo de sus
conocimientos y actitudes.
Funciones y su Representación Gráfica
El inicio de este núcleo se basa en tres
supuestos:
• Es la primera vez que los alumnos y las
alumnas entran en contacto, de manera sistemática,
con las gráficas funcionales en la
enseñanza reglada de las matemáticas. De
ahí que los distintos conceptos deban construírse
de forma significativa, a partir de
una variada gama de contextos que permitan
la reflexión y favorezcan las relaciones
con otros conceptos.
• Es probable que en su experiencia fuera del
aula, los alumnos se hayan enfrentado a
gráficas y tablas a través de las televisión,
de revistas y de otros medios, en distintos
ámbitos (deportivos, culturales, escolares).
• Las tareas de representación no pueden ser
completamente extrañas para los alumnos.
Es probable que estén habituados a representar
situaciones geométricas, números en
distintos modelos (incluida la recta numérica)
y que hayan empleado tablas para
resolver problemas.
En consecuencia, el desarrollo de este núcleo
exigirá prestar especial atención a la detección de
las ideas previas que nuestros alumnos ponen de
manifiesto al abordar situaciones en las que dos
variables están relacionadas. De hecho, el Primer
Ciclo se dedica prácticamente a desarrollar una
cierta maestría en el análisis cualitativo de tales
situaciones.
36
Área de Matemáticas
El núcleo se vertebra alrededor de la noción
de “Dependencia entre dos variables”, bien
mediante el análisis de dependencias ya dadas o
bien mediante la investigación de posibles
dependencias.
Se concede una gran importancia a los lenguajes
con los que se suele poner de manifiesto
las dependencias entre variables. Entre ellos, cabe
destacar, por su importancia, las situaciones o los
enunciados (verbales y escritos), las tablas, las
gráficas y las expresiones simbólicas.
Con cada uno de estos lenguajes se expresa la
“dependencia entre variables”, a la vez que se
pasa de un lenguaje a otro (“se traduce”) para precisar
determinados aspectos de esa dependencia.
Unos y otros se complementan y enriquecen el
tratamiento y el análisis de un mismo fenómeno.
“Las situaciones y los enunciados”, a través
del lenguaje común, proporcionan una visión
descriptiva y, generalmente, cualitativa de la relación
funcional; a partir de ellos, se apelará a los
restantes lenguajes. “La tabla de valores” visualiza
la relación entre parejas de datos, proporcionando
una visión cuantitativa de fácil interpretación.
En muchos casos, ésta es parcial e insuficiente
puesto que de ella difícilmente se extraen las
características globales de la dependencia (a
menos que se conozca el modelo o tipo de
dependencia).
Las gráficas y las fórmulas constituyen lenguajes
más complejos. Propician una visión general
y más completa de la dependencia (tanto cualitativa
como cuantitativa, aunque aproximada en
el caso de la gráfica) y posibilitan la caracterización
de los modelos que sustentan las distintas
relaciones entre variables. Las gráficas permiten
intuir, ver y expresar las características globales de
la dependencia (variaciones, continuidad, extremos,
periodicidad, tendencia, etc.). Las fórmulas
(cuando es posible establecerlas a partir de métodos
elementales) permiten obtener la misma
información con mayor grado de precisión, pero
con mayor dificultad. El lenguaje algebraico presupone
conocer el significado de los símbolos y
operaciones que se utilizan.
Geometría
La enseñanza de la geometría ha sufrido drásticos
cambios en los últimos cuarenta años. Desde
un enfoque sintético hasta transformarla en la
enseñanza de un álgebra con coordenadas (más o
menos formalizada con el apoyo de estructuras
algebraicas), en los años setenta. En ambos casos,
la enseñanza de la geometría se concibió como
esencialmente deductiva y desconectada de la
práctica ordinaria.
Por su parte, el aprendizaje de la geometría
ha sido muy a menudo considerado como de
carácter fundamentalmente memorístico, sin apenas
proyección extraescolar para los alumnos y
con escasas referencias históricas. Ni siquiera la
dotación de ordenadores a los Centros escolares
de Andalucía está teniendo, aún, repercusión en
lo relativo a la modificación de estrategias de
enseñanzas y aprendizajes de la geometría.
La Enseñanza Secundaria Obligatoria tiene que
proponer equilibrios para los desajustes que se
desprenden de estas consideraciones; es necesario,
por una parte, que las alumnas y los alumnos reciban
enseñanzas orientadas en el sentido de la geometría
sintética (incluyendo algunas nociones básicas
de la geometría en la esfera terrestre), en el
sentido de la geometría de coordenadas y en el
sentido de la geometría de transformaciones. Es
también necesario, por otra parte, que estas enseñanzas
ocurran en contextos útiles y funcionales
en la vida cotidiana de los ciudadanos, de manera
que generen aprendizajes significativos.
El núcleo de geometría en la Etapa 12-16 responde
a una finalidad principal: los alumnos y las
alumnas deben adquirir, por sí mismos, la convicción
de que con las herramientas de la geometría
se hacen modelos que representan parcialmente
el espacio físico en el que transcurre la vida cotidiana
y que, por consiguiente, muchos problemas
(y muchos aspectos de otros problemas) relacionados
con ese espacio físico admiten una
resolución geométrica.
Se trata de una tarea difícil que debe de
afrontarse con una buena dosis de tolerancia
37
Secuenciación de Contenidos
hacia el conocimiento no académico, a partir
de lo cual será posible construir una metodología
eficaz para la enseñanza y el aprendizaje
de la geometría. Esto se verá facilitado si se
toman en consideración los dos condicionantes
que siguen:
• A diferencia de los demás núcleos, en los
que no se dan especificaciones metodológicas
concretas, se propone que la geometría
se articule alrededor de dos grandes
ejes:
En el primer ciclo, se intentará principalmente
que los alumnos interactúen con
objetos geométricos concretos (construyendo
maquetas, manipulando e investigando
con modelos, etc.); relaten sus
actuaciones; identifiquen los problemas y
describan los procesos seguidos y los
resultados de sus indagaciones. Por ello,
el profesor deberá dedicar una buena
parte del tiempo a gestionar, en el aula, el
desarrollo de las actividades geométricas
que proponga a los distintos grupos de
alumnos, los cuales recibirán atención y
orientaciones específicas según las necesidades
que vayan expresando o que se
vayan detectando.
En el segundo ciclo, se intentará principalmente
que reflexionen y que organicen
sus aprendizajes para formalizarlos
progresivamente. Aquí la más importante
tarea del profesor será la de coordinar los
aprendizajes, orientando y animando, por
un lado, el trabajo de los grupos y sistematizando,
formalizando e integrando,
por otro lado, las conclusiones que éstos
vayan obteniendo
• El nivel de maduración geométrica de los
alumnos será determinante en relación con
las tareas que se les propongan. Por ello,
será esencial la capacidad del profesor para
detectar ideas previas y para diagnosticar
los errores y los obstáculos a que se enfrentan
los alumnos en su aprendizaje de la
geometría.
El gran número de posibilidades permitidas
por cualquier acercamiento a la geometría exige,
por una parte, precisar el significado que debe
darse a determinadas nociones usuales y, por
otra, delimitar claramente los objetos geométricos
con los que se vaya a trabajar. En esta
secuenciación:
• Las palabras punto, recta, plano, segmento,
ángulo y diedro se entienden siempre de
manera intuitiva;
• Se usa figura para referirse, sin precisar, a
cualquier objeto geométrico de dimensión
1 ó 2; se usa cuerpo para referirse, sin precisar,
a cualquier objeto geométrico de
dimensión 3.
Tratamiento de la Información Estadística
y del Azar
El manejo de datos, ya organizados y bien
presentados, su representación e interpretación,
constituyen actividades de gran importancia en
nuestra época tan marcada por la información y la
tecnología. Los alumnos deben llegar a conseguir,
a lo largo de la Etapa, una cierta destreza en el
manejo de datos. Esta adquisición se basa en conceptos
y procedimientos, seleccionados entre
aquéllos que, apareciendo como incorporables a
su desarrollo cognitivo, resultan de mayor eficacia
y potencia para:
• Interpretar informaciones que aparecen en
los anuarios, periódicos y otros medios de
comunicación.
• Enunciar y poner en práctica estrategias en
sencillas situaciones de juego.
• Expresar predicciones razonables ante
fenómenos aleatorios y tomar decisiones
coherentes con esas predicciones.
• Comenzar a reconocer la dificultad de una
toma de datos para propósitos estadísticos.
La mencionada selección de conceptos y procedimientos
necesita el equilibrio entre las destre-
38
Área de Matemáticas
zas cuya adquisición se va a proponer a las alumnas
y los alumnos y las actitudes de éstos; por
ejemplo:
• El dominio de técnicas de cálculo irá acompañado
de la expresión clara de lo que se
está haciendo.
• Se propondrán análisis de datos basados en
las diferentes medidas de centralización:
media, mediana y moda.
• El trabajo con probabilidades facilitará la
adquisición de convicciones acerca de los
axiomas de la probabilidad.
• La adquisición y uso, por los alumnos, de
una terminología precisa en estadística y
en probabilidad constituye un proceso
acumulativo cuatrienal que permite medir
ciertos progresos (pero no todos los progresos
realizados).
La especial motivación que presentan los
alumnos de esta Etapa en temas relacionados con
el entorno, deportes, modas o juegos, favorece la
realización de investigaciones y estudios de carácter
estadístico. Puede ser útil el que los alumnos
participen activamente en el proceso completo:
• Formulación y refinamiento de las preguntas.
• Planificación y recogida de los datos.
• Organización y representación de los datos
mediante tablas y gráficos.
• Análisis y resumen de la información.
• Elaboración de conjeturas y, en su caso,
toma de decisiones.
• Comunicación de la información y crítica
de las conclusiones.
Se tratará siempre de un proceso a largo
plazo en el que las tres primeras fases necesitarán
de sucesivos refinamientos, con el consiguiente
efecto sobre las restantes fases; por ello, en este
supuesto, parece imperativo sugerir que el tema
de investigación sea cercano al alumno y permita
tales refinamientos.